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2024-02-19 12:26:37azu大中小

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1.参考视频71-78谈泛函分析（孙炯）_ ゜゜゜つロcheers ~-哔哩哔哩

2.《泛函分析教科书》孙炯

3.第6章线性算子的谱理论。

4.线性算子的谱理论在基础研究和应用研究中都起着重要的作用。Banach空间中线性算子谱点的概念是有限维矩阵特征值概念的推广。

5.谱理论对于理解和刻画线性算子非常重要。

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6.对于有限维空间X上的货币算子A，A的谱点是特征值。根据这些特征值，空间X可以分解成关于该算子的几个不变子空间。线性算子的谱（特征值）本质上描述了线性算子的作用方式。线性算子的谱也反映了线性算子是否有逆算子。在什么范围内有逆算子（是否有解，是否唯一），逆算子是否连续（解是否稳定）等等。（视频p71）

7.在无限维空间中，线性算子的谱理论比有线维空间中的谱理论复杂得多。线性算子的谱不仅包括特征值，还包括连续谱和剩余谱。（视频p71）

8.本章的主要内容:线性算子谱的定义、分类和性质；（定义）有界线性算子的谱集是非空有界闭集；有界自共轭线性算子的谱分析:（对称）紧线性算子的谱分析。（紧致线性算子，因为它是有限维的并且具有可数的无穷个特征值）

9.C =正则点集+谱集{点谱、连续谱、剩余谱}

10.1.正则点集与谱集的定义空间:Banach空间，t:线性算子正则点集:其值域中间稠密且具有连续的逆算子，记为预解集:如果有逆算子，则称为预解集，记为谱集:正则点的补集。

11.线性算子:有界线性算子和无界线性算子都适用于密度:juliar:泛函分析（2）第一章:距离空间1.3.3，它表明一个闭包是接触点的总体。

12.注意:在这个定义中，不要求T是有界线性算子，不一定是整个空间。【无界线性算子不能在整个空间上定义】

13.在定义6.1.1中，复平面上的点分为两类:正则点集和谱点集。

14.谱点集由使逆算子在整个空间上有界的所有复数组成。

15.2.谱集的分类:点谱、连续谱和剩余谱对于正则点集，首先是中间稠密的范围，其次是逆算子，然后逆算子是连续的。如果这三个条件同时不满足，则为谱集，因此将以下情况分为几类:1不是一一对应的，即没有逆算子（p点）2。逆运算符是不连续的（c-continue）。

16.3.特征值和特征元素（点谱）

17.是点谱的充要条件:X称为对应的特征元素。零空间的所有非零解:也称为特征子空间。

18.几何重数和代数重数1。不同属性1。几何重数:在矩阵运算中，如果矩阵的特征值是重根，那么特征值对应的特征向量所形成的空间（即特征值子空间，也是方程组（λI-A）x = 0）的维数称为几何重数。2.代数重数:指方程根的重数。2.代表差异1。几何多重性:表示空间的维度。2.代数重数:表示方程的多重根。

19.4.有界线性算子谱的性质在定义6.1.1中，当空间从Banach空间变为Hilbert空间，并且线性算子变为有界线性算子时，谱集具有更好的性质，如以下定理所示:（6.2在Banach空间中解释）。

20.希尔伯特空间中共轭算子的谱集和共轭算子的谱集关于X对称..这从一个侧面反映了算子及其共轭算子的某种对称性。

21.5.不同的特征值，对应的特征向量是不相关的。对于，非零解X必须属于（非零解必须属于定义域【即必须验证特征元素是否属于定义域空间】，这在有限维空间中是不可用的，这在无限维空间中非常重要）（教材p166）。

22.示例:（虽然，因为X不属于该域，所以它不是特征元素）

在23.6.1.1的4中，当T是有界线性算子时，引入了谱集的性质（在6.2中）。现在我们研究当T是闭线性算子时正则点（谱集+正则点）的性质。

24.当它是闭算子，尤其是有界线性算子时，我们得到以下结论:

25.可以看出，当它是闭线性算子时，，当且仅当且。

26.上面的例子表明，线性算子在无限维空间中可以有不是特征值的谱点。有限维空间只有纯点谱。

27.6.1.1的4介绍了当T是有界线性算子时谱集的性质。

28.在这一节中，我们主要研究有界线性算子谱集的性质。定理6.2.1: T是Banach空间中的有界线性算子。若算子范数小于1，则该算子存在有界逆算子，其逆算子可表示为T的幂和；定理6.2.2: T是Banach空间中的有界线性算子，则T的谱集是有界集；定理6.2.3: T是Banach空间中的有界线性算子。如果满足定理中的条件，则正则点集是开集。（开集的定义:若任一点为内点，则该集合为开集）正则点集:谱集:

29.定理6.2.3表明谱集是闭集（正则点集是开集，而在C上，除了正则点集外，它都是谱集，所以谱集是闭集）。

30.稍后，我们可以看到，可以为复平面中的任何闭集构造线性算子I，因此

31.详见视频p73和课本p167-p170。

32.定理6.2.2: T是Banach空间中的有界线性算子，则T的谱集是有界集；事实上，谱集也是非空集。

33.1.谱集是有界闭集。

34.2.算子值函数及其连续可微定义

35.考虑正则集上定义的算子值函数:

36.3.算子值函数中的解析函数

37.分析:连续可微

38.4.光谱集不为空。

39.18分钟~ 32分钟见视频p74和教材p170。

40.1.光谱半径的定义

41.2.谱半径是谱的上确界。

42.谱半径的定义不涉及谱。事实上，光谱半径描述了光谱的范围。我们有:

43.也就是说，谱半径等于所有谱的上确界。

44.3.光谱半径可以是0。

45.教科书p172

46.5.4有界自共轭线性算子的研究。

47.参见第75页视频

48.见第75页视频。

49.对于自共轭算子的谱半径，我们有如下定理:谱半径=算子范数。

50.参见视频p76

51.对于H上有界自共轭算子T的谱分布，我们可以从数值域得到更精确的估计。

52.结合定理5.4.8、定理6.2.9和定理6.3.5，我们得到以下定理。

此外:

54.请参见视频p76紧致线性算子，该算子将有界集映射到列紧致集。紧线性算子是一类非常重要的有界线性算子。紧线性算子几乎可以看作是线性算子在最有限维空间中的推广。紧线性算子的结构，尤其是谱分解的结构与有限维空间中的线性算子非常相似。除了零点的谱集之外，紧线性最多只包含几个离散特征值（除了零点之外，没有收敛点）。

55.1.紧线性算子（全连续算子）的定义

56.2.紧线性算子的相关命题

57.3.有界线性算子不一定是紧的。

58.4.紧线性算子的等价表述

59.5.紧算子是线性算子在有限维空间中的“直接推广”。

60.参见视频p76

61.6.紧凑运算符的更多示例

62.参见视频p77

63.教科书p173~p175

64.参见教材p180。

65.1.无限维空间没有紧算子。

66.参见视频p77，时长8分钟~ 13分钟（装置操作人员不得紧张）。